Il coefficiente K0 detto coefficiente di spinta a riposo, ovvero in assenza di deformazioni laterali, o coefficiente di quiete K0, rappresenta uno dei parametri geotecnici fondamentali per la definizione dello stato tensionale del terreno.
Tale parametro entra dunque nei calcoli geotecnici nei quali diviene fondamentale definire con precisione lo stato tensionale: ad esempio la realizzazione di opere di contenimento, la verifica di stabilità di scavi anche di grandi dimensioni per la realizzazione di opere importante sotterranee, riempimenti, opere di sostegno quali paratie, muri etc.
Tale parametro viene molto spesso determinato mediante prove geotecniche in situ (quali ad esempio prove penetrometriche) attraverso correlazioni varie, ma è ancor più stimato tramite relazioni empiriche quali ad esempio determinate a partire dal valore della densità relativa Dr per i terreni incoerenti NC (in cui si osserva che K0 decresce al crescere della Dr), oppure basati sul valore dell’indice di indice di plasticità Ip per i terreni coesivi NC (in cui si osserva una proporzionalità diretta). Vi è dunque un “abuso” nell’utilizzo di relazioni empiriche che forniscono una stima del suo valore, mentre quasi mai viene richiesta una sua determinazione sperimentale precisa tramite prove geotecniche di laboratorio.
…ma che cos’è il K0?
Tale parametro viene introdotto come coefficiente di proporzionalità per il calcolo della tensione orizzontale efficace σ’h0: esso è espresso, infatti, dal rapporto tra la tensione orizzontale efficace σ’h0 e quella verticale efficace σ’v0. Una volta determinato il valore della componente geostatica orizzontale efficace σ’h0 è possibile calcolare, nel piano rispetto del principio delle tensioni efficaci di Terzaghi, la componente orizzontale totale σh, essendo la stessa definita, in analogia alla tensione totale verticale, come σh = σ’h + u.
Considerando dunque un elemento puntiforme di terreno A posto alla profondità z dal piano campagna, all’interno di un deposito di terreno incoerente (c’=0), sopra falda (u =0, pertanto le tensioni totali e orizzontali coincidono) e omogeneo, avente peso di volume γ costante con la profondità, e delimitato superiormente da una superficie piana e orizzontale (stato tensionale asssial-simmetrico).
Nel punto A si avrà che
– la tensione verticale σ’v0 è pari a γz
– la tensione orizzontale σ’h0 è eguale in tutte le direzioni e vale σ’h0 = K0 σ’v0
Poiché di norma K0 è minore di 1, la tensione verticale σ’v0 corrisponde alla tensione principale maggiore σ’1, mentre la tensione orizzontale σ’h0 corrisponde alla tensione principale minore σ’3. Per simmetria assiale la tensione principale intermedia σ’2 è eguale alla tensione principale minore σ’3.
Sia la tensione verticale σ’v0 che la tensione orizzontale σ’h0 valgono zero in superficie (z=0) e variano linearmente con la profondità z, rispettivamente con gradiente γ e con gradiente K0 γ.
Si ha che K0 esprime una proporzionalità lineare tra le tensioni orizzontali e verticali efficaci per cui
K0 = σ’h0/ σ’v0, con σ’v0 > σ’h0
Lo stato tensionale descritto dal punto A può essere rappresentato dal cerchio di Mohr, assumendo che valga il criterio di rottura di Mohr-Coulomb, come mostrato nel grafico seguente
…la relazione tra K0 e Ka e Kp…
Tale coefficiente viene detto “a riposo” proprio per distinguerlo dal coefficiente di spinta attiva Ka e passiva Kp delle terre: in generale vale la disuguaglianza Ka < K0 < Kp.
In altre parole, i coefficienti di spinta attiva, Ka, e passiva, Kp, rappresentano i valori limite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaci orizzontale e verticale.
Nel dettaglio, nel caso della spinta attiva (la tensione verticale σ’v0 = γZ non varia, mentre la tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente) si avrà che il cerchio di Mohr, rappresentativo dello stato tensionale in A, si modifica di conseguenza, ovvero la tensione principale maggiore σ’1 = σ’v0 rimane costante, mentre la tensione principale minore σ’3 si riduce progressivamente dal valore iniziale σ’h0 al valore minimo compatibile con l’equilibrio, σ’ha, detta tensione limite attiva, che corrisponde alla tensione principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura.
Nel caso di spinta passiva (la tensione verticale efficace non subisce variazioni mentre quella orizzontale progressivamente cresce fino al valore massimo compatibile con il criterio di rottura di Mohr-Coulomb) la tensione verticale efficace, corrisponde alla tensione principale minore, σ’v0 = σ’3, e quella orizzontale, detta tensione limite passiva, σ’hp, alla tensione principale maggiore, σ’hp = σ’1.
… K0 dipende dal tipo di terreno e dalla storia geologica del deposito
K0 non dipende solo dal tipo di terreno ma è legato alla storia tensionale del deposito: pertanto diviene fondamentale distinguere il valore K0 per i terreni granulari da quelli coesivi e, nell’ambito di questi distinguere tra quelli normalconsolidati NC, da quelli sovraconsolidati OC.
Si ricorda che si definiscono terreni normalconsolidati (NC) quelli che in deposizione raggiungono sotto l’effetto del proprio peso una situazione di equilibrio e che poi, nella consolidazione, sotto il peso degli strati sovrastanti, subiscono compressioni assiali senza deformazioni laterali (come accade nella prova edometrica: quindi la tensione efficace verticale geostatica σ’v0 coincide con la tensione efficace verticale massima sopportata dal deposito nella sua storia (OCR = σ’p/σ’v0 = 1).
Si ricorda che la prova edometrica simula la genesi di molti depositi naturali, formatisi per deposizione successiva di strati di terreno, su una superficie originaria piana, orizzontale e infinitamente estesa, in cui il provino di terreno si deforma solo assialmente, al di sotto dell’applicazione di carichi verticali secondo la retta di normalconsolidazione, senza raggiungere mai la rottura, ovvero sono impedite le deformazioni laterali, ovvero il provino è in condizioni K0. Allo stesso modo, la fase di scarico tensionale della prova simula la fase di erosione del deposito, in cui si osserva il recupero parziale della deformazione, relativa alla sola componente elastica, e nello sviluppo della sovraconsolidazione alla quale è associata una maggiore resistenza e minore deformabilità.
Nei terreni NC (OCR = σ’p/σ’v0 = 1) vi è dunque una netta relazione con l’angolo di resistenza al taglio, da cui a sua volta questo può essere messo in relazione all’indice di plasticità:
Per i terreni NC K0 ≈ (1-sinφ’)
Nei terreni OC (OCR = σ’p/σ’v0 >> 1),ovvero in quei terreni che nella storia geologica hanno subito una erosione tanto da esibire uno stato tensionale inferiore rispetto alle massime tensioni subite in passato, vale la seguente relazione.
Per terreni OC K0 ≈ (1-sinφ’)∙OCR^0.5
In sintesi K0(NC) < 1, mentre K0(OC) >1; ne consegue che K0(OC) > K0(NC)
Per avere un’idea anche quantitativa dei valori di K0 si consideri che per φ’=30°, applicando le equazioni sopra scritte si stima:
per OCR = 1 (terreno normalmente consolidato) K0 ≈ 0,50
per OCR = 2 (terreno debolmente sovraconsolidato) K0 ≈ 0,71
per OCR = 4 (terreno mediamente sovraconsolidato) K0 ≈ 1,00
per OCR = 10 (terreno fortemente sovraconsolidato) K0 ≈ 1,58
ovvero, in un terreno NC σ’h0 < σ’v0 e, in genere, la tensione geostatica orizzontale σ’h0 è circa la metà di quella verticale; infine, si è osservato che per OCR= 4 lo stato tensionale geostatico è isotropo, mentre per OCR > 4 la tensione geostatica orizzontale σ’h0 diviene tensione principale maggiore, quindi nei terreni OC si ha che σ’h0 > σ’v0
…con quali prove di laboratorio possiamo calcolare il K0?
La prova più semplice più utilizzata pe la determinazione del K0 è la prova edometrica (meglio con modello Bishop) a incremento di carico controllato IL nel corso della quale viene misurata la tensione orizzontale efficace attraverso trasduttori di pressione a contatto con la superficie laterale del provino. L’anello rigido in cui è alloggiato il provino è dunque dotato di due trasduttori di pressione diametralmente opposti in modo da poter misurare correttamente la spinta orizzontale a seguito dell’applicazione del carico verticale. Le letture dei cedimenti del provino misurati nel corso della prova edometrica sono accompagnati dalla misura della pressione orizzontale, la quale mostra un andamento decrescente in maniera esponenziale in funzione del tempo, in seguito alla dissipazione delle pressioni interstiziali. Infatti, all’applicazione del carico ∆σv, nell’istante immediatamente successivo si ha un aumento delle pressioni interstiziali ∆u pari al carico stesso che, trattandosi di pressione idraulica isotropa sarà ∆σh =∆u. Al termine del processo di consolidazione, con la completa dissipazione delle pressioni interstiziali si ottiene la misura della tensione orizzontale σ’h0 dalla lettura sulla centralina collegata al trasduttore di pressione.
prova di compressione edometrica con anello strumentato per a determinazione del K0; la centralina indica i valori di pressione orizzontale.
Un altro modo per la determinazione del coefficiente K0 più sofisticato è rappresentato dalla prova triassiale CK0U ovvero prova non drtenata con consolidazione anisotropa in condizioni K0. Tale prova simula perfettamente lo stato tensionale esistente in situ, in quanto esso è generalmente anisotropo ed è governato dal coefficiente K0.
provino sottoposto a consolidamento anisotropo in condizioni di deformazione laterale nulla K0
Anche in questa prova il provino è alloggiato in un anello strumentato e viene sottoposto a un carico assiale per portare a rottura il provino per compressione in condizioni non drenate (ovvero a drenaggio chiuso) registrando contemporaneamente le pressioni verticali applicati e le relative tensioni orizzontali.
Per la consolidazione K0 si usa un valore della pressione di cella pari al valore della tensione geostatica
orizzontale del sito (che deve ovviamente essere stimato in qualche modo: per terreni NC può essere usata
la relazione K0 = (1 – sinφ’) si aumenta poi il valore della tensione assiale della cella fino al valore dell’attuale tensione geostatica verticale. Per definizione di consolidazione K0 alla fine della consolidazione la pressione dei pori in eccesso è zero e σ’v0= σ’1 e σ’v’h = σ’3.
esempio di grafico con retta K0 ricavato da prova CK0U con stress-path
Un esempio di prova CK0U è contenuta nella pubblicazione Stress Paths in Undrained Triaxial Tests with Anisotropic Consolidation on Marine Sediments of Southern Italy (Diego Barbero, Erika Veronese) pubblicata sulla rivista Journal of Geotechnical Engineering, a cui si rimanda.
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